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费尔马点的应用 费尔马点

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1、费尔马点的证明 点P为△ABC所在平面内一点,如果∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,那么这个点P叫费尔马点. 平面内一点P到△ABC三顶点的距离之和为PA+PB+PC。

2、当P为费尔马点时,距离之和最小. 下面简单给出证明思路: 设D为△ABC内任意一点,求DA+DB+DC的最小值. 将△BCD绕着点B逆时针旋转60°得到△BC′D′。

3、连结DD′、CC′. 容易知道△BC′D′是等边三角形,DA+DB+DC= DA+D D′+ D′C′. 当A、D 、D′、C′四点共线时,DA+DB+DC最小. 此时∠ADB=∠BDC=∠CDA=120°。

4、即点D为费尔马点时,DA+DB+DC最小。

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