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如图在四边形abcd中∠a=∠c 如图在等腰梯形abcd中

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一、题文

如图1,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,E是AB的中点,过点E作EF∥BC交CD于点F.AB=4,BC=6,∠B=60度.(1)求点E到BC的距离;(2)点P为线段EF上的一个动点,过P作PM⊥EF交BC于点M,过M作MN∥AB交折线ADC于点N,连接PN,设EP=x.①当点N在线段AD上时(如图2),△PMN的形状是否发生改变?若不变,求出△PMN的周长;若改变,请说明理由;②当点N在线段DC上时(如图3),是否存在点P,使△PMN为等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求的x的值;若不存在,请说明理由.

二、解答

解:(1)如图1,过点E作EG⊥BC于点G.
∵E为AB的中点,
∴BE=AB=2
在Rt△EBG中,∠B=60°,
∴∠BEG=30°.
∴BG=BE=1,EG=
即点E到BC的距离为

(2)①当点N在线段AD上运动时,△PMN的形状不发生改变.
∵PM⊥EF,EG⊥EF,
∴PM∥EG,
又EF∥BC,
∴四边形EPMG为矩形,
∴EP=GM,PM=EG=
同理MN=AB=4.
如图2,过点P作PH⊥MN于H,
∵MN∥AB,
∴∠NMC=∠B=60°,又∠PMC=90°,
∴∠PMH=∠PMC-∠NMC=30°.
∴PH=PM=
∴MH=PM•cos30°=
则NH=MN-MH=4-
在Rt△PNH中,PN=
∴△PMN的周长=PM+PN+MN=

②当点N在线段DC上运动时,△PMN的形状发生改变,但△MNC恒为等边三角形.
当PM=PN时,如图3,作PR⊥MN于R,则MR=NR.
类似①,PM=,∠PMR=30°,
MR=PMcos30°=×=
∴MN=2MR=3.
∵△MNC是等边三角形,
∴MC=MN=3.
此时,x=EP=GM=BC-BG-MC=6-1-3=2.
当MP=MN时,
∵EG=
∴MP=MN=
∵∠B=∠C=60°,
∴△MNC是等边三角形,
∴MC=MN=MP=(如图4),
此时,x=EP=GM=6-1-
当NP=NM时,如图5,∠NPM=∠PMN=30°.
则∠PNM=120°,又∠MNC=60°,
∴∠PNM+∠MNC=180°.
因此点P与F重合,△PMC为直角三角形.
∴MC=PM•tan30°=1.
此时,x=EP=GM=6-1-1=4.
综上所述,当x=2或4或(5-)时,△PMN为等腰三角形.

三、分析


(1)可通过构建直角三角形然后运用勾股定理求解.
(2)①△PMN的形状不会变化,可通过做EG⊥BC于G,不难得出PM=EG,这样就能在三角形BEG中求出EG的值,也就求出了PM的值,如果做PH⊥MN于H,PH是三角形PMH和PHN的公共边,在直角三角形PHM中,有PM的值,∠PMN的度数也不难求出,那么就能求出MH和PH的值,也就求出HN和PN的值了,有了PN,PM,MN的值,就能求出三角形MPN的周长了.
②本题分两种情况进行讨论:
1、N在CD的DF段时,PM=PN.这种情况同①的计算方法.
2、N在CD的CF段时,又分两种情况进行讨论
MP=MN时,MC=MN=MP,这样有了MC的值,x也就能求出来了
NP=NM时,我们不难得出∠PMN=120°,又因为∠MNC=60°因此∠PNM+∠MNC=180°.这样点P与F就重合了,△PMC即这是个直角三角形,然后根据三角函数求出MC的值,然后就能求出x了.
综合上面的分析把△PMC是等腰三角形的情况找出来就行了.
本题综合考查了等腰梯形,等腰直角三角形的性质,中位线定理,勾股定理等知识点的应用.

本文到此结束,希望对大家有所帮助。

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